RBSE Class 12th 2026 MATHEMATICS-SS-15 Previous Year Papers

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How to practise with this question paper

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Rajasthan Board Class 12th MATHEMATICS-SS-15 2026 solved Previous Year Question Papers

उच्च माध्यमिक परीक्षा, 2026
SENIOR SECONDARY EXAMINATION, 2026

गणित
MATHEMATICS

समय : 3 घंटे 45 मिनट
पूर्णांक : 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES:

1. परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यत: लिखें।
   Candidate must write first his/her Roll No. on the question paper compulsorily.
2. सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
   All the questions are compulsory.
3. प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
   Write the answer to each question in the given answer-book only.

No. of Questions: 20
5-Mathematics
No. of Printed Pages: 75

4)

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5)

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6)

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7)

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8)

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खण्ड-अ / SECTION—A

बहुविकल्पीय प्रश्न / Multiple Choice Questions

1. यदि f : R → R, f(x) = (3 – x³)^(1/3) द्वारा प्रदत्त है, तो f o f(x) बराबर है:

   If f : R → R be given by f(x) = (3 – x³)^(1/3), then f o f(x) is equal to:

   • A) x³
   • B) x
   • C) (3 – x³)
   • D) (3 – x³)^(1/3)

   Correct Answer: B) x

   Explanation: f o f(x) = f(f(x)) = f((3 – x³)^(1/3)) = (3 – ((3 – x³)^(1/3))³)^(1/3) = (3 – (3 – x³))^(1/3) = (x³)^(1/3) = x.

2. sin⁻¹(–1/√2) का मुख्य मान है:

   The principal value of sin⁻¹(–1/√2) is:

   • A) π/4
   • B) –π/4
   • C) π/3
   • D) π/2

   Correct Answer: B) –π/4

   Explanation: The principal value range for sin⁻¹ is [–π/2, π/2]. Since sin(–π/4) = –1/√2, the principal value is –π/4.

3. यदि A = (a_ij)_m×n एक वर्ग आव्यूह है, यदि:

   If A = (a_ij)_m×n is a square matrix, if:

   • A) m < n
   • B) m > n
   • C) m = n
   • D) इनमें से कोई नहीं / None of these

   Correct Answer: C) m = n

   Explanation: A square matrix has equal number of rows and columns, i.e., m = n.

4. यदि A = [[2, 3], [5, –1]] तथा B = [[3, 1], [0, 2]] हो, तो (2A – B) होगा:

   If A = [[2, 3], [5, –1]] and B = [[3, 1], [0, 2]], then (2A – B) will be:

   • A) [[1, 5], [10, –4]]
   • B) [[–1, 5], [10, –4]]
   • C) [[1, 5], [10, 4]]
   • D) [[–1, 5], [10, 4]]

   Correct Answer: A) [[1, 5], [10, –4]]

   Explanation: 2A = [[4, 6], [10, –2]]. Then 2A – B = [[4–3, 6–1], [10–0, –2–2]] = [[1, 5], [10, –4]].

प्रश्न 5

का मान होगा:

1. x² - x + 2
2. x² + 2
3. x² - x + 2
4. x² + x + 4

सही विकल्प: (c) x² - x + 2

प्रश्न 6

यदि 2x + 3y = sin y हो, तो dy/dx बराबर होगा:

1. 3/(sin y - 2)
2. 2/(cos y - 3)
3. 2/(cos y + 3)
4. 2/cos y

सही विकल्प: (b) 2/(cos y - 3)
व्याख्या: 2x + 3y = sin y का अवकलन करने पर, 2 + 3(dy/dx) = cos y (dy/dx) ⇒ 2 = (cos y - 3)(dy/dx) ⇒ dy/dx = 2/(cos y - 3)

प्रश्न 7

यदि y = cos⁻¹( (1-x²)/(1+x²) ), 0 < x < 1 हो, तो dy/dx बराबर होगा:

1. 1/(1+x²)
2. 2/(1+x²)
3. -2/(1+x²)
4. 2/(x+x²)

सही विकल्प: (c) -2/(1+x²)
व्याख्या: y = cos⁻¹( (1-x²)/(1+x²) ) = 2 tan⁻¹ x (मानक सर्वसमिका), अतः dy/dx = 2/(1+x²) का ऋणात्मक मान लेने पर -2/(1+x²) प्राप्त होता है।

प्रश्न 8

एक वृत्त की त्रिज्या r = 5 सेमी पर r के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है:

1. 10π
2. 12π
3. 8π
4. 5π

सही विकल्प: (a) 10π
व्याख्या: वृत्त का क्षेत्रफल A = πr², dA/dr = 2πr, r = 5 पर dA/dr = 2π × 5 = 10π

ix) \(\int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x}\) बराबर है

\(\int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x}\) equals

1. \(\tan x + \sin x + c\)
2. \(\tan x - \cot x + c\)
3. \(\tan x \cot x + c\)
4. \(2 \tan x - \cot 2x + c\)

x) वक्र \(y^2 = 4x\), \(y\)-अक्ष एवं रेखा \(y = 3\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है

Area of the region bounded by the curve \(y^2 = 4x\), \(y\)-axis and the line \(y = 3\) is

1. 2
2. \(\frac{9}{4}\)
3. \(\frac{9}{2}\)
4. \(\frac{4}{9}\)

xi) अवकल समीकरण \(2x \frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0\) की कोटि है

The order of the differential equation \(2x \frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0\) is

1. 2
2. 1
3. 0
4. Not defined

xii) निम्न में से कौन-सी एक सदिश राशि है?

Which of the following is a vector quantity?

1. समय (Time)
2. आयतन (Volume)
3. बल (Force)
4. गति (Speed)

xiii) सदिश \(\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}\), \(\vec{b} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}\) और \(\vec{c} = \hat{i} - 6\hat{j} - 7\hat{k}\) का योगफल है

The sum of the vectors \(\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}\), \(\vec{b} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}\) and \(\vec{c} = \hat{i} - 6\hat{j} - 7\hat{k}\) is

1. \(-4\hat{j} - \hat{k}\)
2. \(4\hat{i} - \hat{k}\)
3. \(4\hat{j} + 5\hat{k}\)
4. \(\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}\)

(xiv) सदिश a = i + j + 2k के अनुदिश इकाई सदिश है

The unit vector in the direction of the vector a = i + j + 2k is

1. \(\frac{i+j+k}{\sqrt{5}}\)
2. \(\frac{i+j+k}{\sqrt{6}}\)
3. \(\frac{2i+2j+2k}{\sqrt{6}}\)
4. \(\frac{i+j+2k}{\sqrt{6}}\)

(xv) यदि सरल रेखाएँ \(\frac{x+1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{\lambda}\) और \(\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+1}{2}\) परस्पर लम्बवत् हैं, तो λ का मान है

If the straight lines \(\frac{x+1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{\lambda}\) and \(\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+1}{2}\) are perpendicular to each other, then the value of λ is

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3

(xvi) 52 पत्तों की एक गड्डी में से यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए गए दो पत्ते निकाले जाते हैं, तो दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता है

Two cards are drawn at random without replacement from a pack of 52 playing cards; then the probability that both the cards are black in color, is

1. \(\frac{1}{2}\)
2. \(\frac{25}{102}\)
3. \(\frac{25}{102}\)
4. \(\frac{1}{4}\)

प्रश्न (xvii)

यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तथा P(A) = 0.3 और P(B) = 0.4, तो P(A ∪ B) का मान होगा:

1. 0.58
2. 0.70
3. 0.12
4. 0.10

प्रश्न (xviii)

यदि पासों का एक जोड़ा उछाला जाता है, तो प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता होगी:

1. 1/3
2. 1/2
3. 1/36
4. 0

2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए | Fill in the blanks.

(i) sin⁻¹ x एक ऐसा फलन है, जिसका प्रांत ______ है।
sin⁻¹ x is a function whose domain is ______.

(ii) सारणिक A = | 1 2 4 |
| -1 3 0 |
| 4 -5 0 | का मान ______ है।
The value of determinant A = | 1 2 4 |
| -1 3 0 |
| 4 -5 0 | is ______.

खंड-बी (Section-B)

2. iii) एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 सेमी/से. की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है, जबकि किनारा 10 सेमी लम्बा है?

   The edge of a variable cube is increasing at the rate of 3 cm/s. The volume of the cube is increasing at the rate of ______ while the edge is 10 cm long.

   हल: माना घन का किनारा = x सेमी, आयतन = V = x³

   दिया है: dx/dt = 3 सेमी/से.

   dV/dt = d(x³)/dt = 3x² · dx/dt = 3x² × 3 = 9x²

   जब x = 10 सेमी, dV/dt = 9 × (10)² = 9 × 100 = 900 सेमी³/से.

   अतः आयतन 900 सेमी³/से. की दर से बढ़ रहा है।

3. iv) ∫(2x³ – 3 cos x + eˣ) dx = ______

   हल: ∫(2x³ – 3 cos x + eˣ) dx = 2∫x³ dx – 3∫cos x dx + ∫eˣ dx

   = 2·(x⁴/4) – 3·(sin x) + eˣ + C

   = (x⁴/2) – 3 sin x + eˣ + C

4. v) अवकल समीकरण dy/dx = (1 + y²)/(1 + x²) का व्यापक हल है।

   The general solution of the differential equation dy/dx = (1 + y²)/(1 + x²) is ______.

   हल: dy/dx = (1 + y²)/(1 + x²)

   ⇒ dy/(1 + y²) = dx/(1 + x²)

   दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:

   ∫dy/(1 + y²) = ∫dx/(1 + x²)

   ⇒ tan⁻¹ y = tan⁻¹ x + C

   ⇒ tan⁻¹ y – tan⁻¹ x = C

   ⇒ tan⁻¹[(y – x)/(1 + xy)] = C

   ⇒ (y – x)/(1 + xy) = tan C = k (अचर)

   ⇒ y – x = k(1 + xy)

   यही व्यापक हल है।

5. vi) बिन्दुओं P(2, 3, 0) एवं Q(-1, -2, -4) को मिलाने वाला एवं P से Q की तरफ़ निर्देशित सदिश ______ है।

   The vector joining the points P(2, 3, 0) and Q(-1, -2, -4) directed from P to Q is ______.

   हल: अभीष्ट सदिश = PQ = Q – P = (-1 – 2, -2 – 3, -4 – 0) = (-3, -5, -4)

   ∴ सदिश = -3î – 5ĵ – 4k̂

3. अति लघूत्तरात्मक प्रश्न

Very Short Answer Type Questions

1. i) यदि A = [2 3; 4 5] और B = [1 2; 3 4; 5 6] है, तो AB ज्ञात कीजिए।

   If A = [2 3; 4 5] and B = [1 2; 3 4; 5 6], then find AB.

   हल: A एक 2×2 आव्यूह है और B एक 3×2 आव्यूह है।

   AB की परिभाषा के लिए, A के स्तंभों की संख्या (2) = B की पंक्तियों की संख्या (3) होनी चाहिए, जो यहाँ नहीं है।

   अतः AB परिभाषित नहीं है।

2. ii) सारणिक A = |0 sinα -cosα; -sinα 0 sinβ; cosα -sinβ 0| का मान ज्ञात कीजिए।

   Find the value of determinant A = |0 sinα -cosα; -sinα 0 sinβ; cosα -sinβ 0|.

   हल: दिया गया सारणिक एक विषम सममित सारणिक है (विकर्ण के सापेक्ष a_ij = -a_ji) और इसकी कोटि 3 (विषम) है।

   विषम कोटि के विषम सममित सारणिक का मान शून्य होता है।

   ∴ A = 0

iii)

यदि \( y = \frac{1}{\sin x} \) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।

If \( y = \frac{1}{\sin x} \), then find \(\frac{dy}{dx}\).

iv)

यदि \( y = e^{5x} + e^{-5x} \) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।

If \( y = e^{5x} + e^{-5x} \), then find \(\frac{dy}{dx}\).

v)

हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या 4 सेमी/से. की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 सेमी है?

The radius of an air bubble is increasing at the rate of 4 cm/s. At what rate is the volume of the bubble increasing when the radius is 1 cm?

vi)

किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में \(R(x) = 3x^2 + 26x + 5\) से प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब \(x = 7\) है।

The total revenue in rupees received from the sale of x units of a product is given by \(R(x) = 3x^2 + 26x + 5\). Find the marginal revenue when \(x = 7\).

vii)

हल कीजिए: \(\int \frac{dx}{\sqrt{ax - x^2}}\)

Evaluate: \(\int \frac{dx}{\sqrt{ax - x^2}}\)

viii)

वृत्त \(x^2 + y^2 = a^2\) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Find the area of the circle \(x^2 + y^2 = a^2\).

ix)

सत्यापित कीजिए कि फलन \(y = a \cos x + b \sin x\), जिसमें \(a, b \in \mathbb{R}\), अवकल समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\) का हल है।

Verify that the function \(y = a \cos x + b \sin x\), where \(a, b \in \mathbb{R}\), is a solution of the differential equation \(\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\).

प्रश्न (x)

दो सदिशों a और b के परिमाण क्रमशः 3 और 5 हैं तथा a · b = √6 है, तो a और b के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

Find the angle between two vectors a and b with magnitudes 3 and 5 respectively and a · b = √6.

प्रश्न (xi)

दो बिंदुओं (2, 4, 5) और (1, 2, 3) से होकर गुजरने वाली रेखा की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

Find the direction cosines of the line passing through the two points (2, 4, 5) and (1, 2, 3).

प्रश्न (xii)

एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि उनमें से कम से कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों बच्चों के लड़का होने की क्या प्रायिकता है?

A family has two children. What is the probability that both the children are boys given that at least one of them is a boy?

खण्ड - ब

SECTION - B

लघूत्तरात्मक प्रश्न

Short Answer Type Questions

प्रश्न 4

सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R पर R = {(a, b) : a < b} द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।

Prove that the relation R defined by R = {(a, b) : a < b} on the set R of real numbers is reflexive and transitive but not symmetric.

प्रश्न 5

दर्शाइए कि sin⁻¹(2x√(1 – x²)) = 2 sin⁻¹ x, जहाँ |x| ≤ 1/√2

Show that sin⁻¹(2x√(1 – x²)) = 2 sin⁻¹ x, where |x| ≤ 1/√2

6.

यदि x + y = i और x - y = 2 - i है, तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए।

If x + y = i and x - y = 2 - i, find the values of x and y.

7.

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, 0), (6, 0) और (4, 3) हैं।

Find the area of the triangle whose vertices are (1, 0), (6, 0) and (4, 3).

8.

यदि x = cos θ - cos 2θ, y = sin θ - sin 2θ है, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।

Find dy/dx, if x = cos θ - cos 2θ, y = sin θ - sin 2θ.

9.

यदि y = sin⁻¹ x है, तो दर्शाइए (1 - x²) d²y/dx² - x dy/dx = 0.

If y = sin⁻¹ x, show that (1 - x²) d²y/dx² - x dy/dx = 0.

10.

f(x) = 3x⁴ + 4x³ - 12x² + 2 द्वारा प्रदत्त फलन f के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

Find local maximum and local minimum values of the function f given by f(x) = 3x⁴ + 4x³ - 12x² + 2.

12.

प्रथम चतुर्थाश में वृत्त x² + y² = 4 एवं रेखाओं x = 0, x = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Find the area of the region bounded by the circle x² + y² = 4 and the lines x = 0, x = 2 in the first quadrant.

13.

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिश a = 3i + j + 4k और b = i - j + k द्वारा दी गई हैं।

Find the area of a parallelogram whose adjacent sides are given by the vectors a = 3i + j + 4k and b = i - j + k.

खण्ड -स / SECTION - C

दीर्घ उत्तरात्मक प्रश्न :
Long Answer Type Questions :

प्रश्न 14.

ज्ञात कीजिए : ∫ √(1 + x²) dx

Find ∫ √(1 + x²) dx.

अथवा / OR

आंशिक भिन्नों का प्रयोग करते हुए ज्ञात कीजिए : ∫ 1/(x² + 9x + 8) dx

Using partial fraction, find ∫ 1/(x² + 9x + 8) dx.

प्रश्न 15.

अवकल समीकरण dy/dx = y/x + 2 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। [3]

Find the general solution of the differential equation dy/dx = y/x + 2.

अथवा / OR

अवकल समीकरण dy/dx + y cot x = 2x + x² cot x (x ≠ 0) का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है कि y = 0 जब x = π/2। [3]

Find the particular solution of the differential equation dy/dx + y cot x = 2x + x² cot x (x ≠ 0) given that y = 0 when x = π/2.

16. दर्शाइए कि दिक्-कोसाइन \(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\); \(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\); \(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\) वाली तीनों रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं।

Show that the three lines with direction cosines \(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\); \(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\); \(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\) are mutually perpendicular.

अथवा/OR

स्थिति सदिश \(2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}\) वाले बिन्दु से गुजरने वाली \(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}\) की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।

Find the equation of the line in vector and in Cartesian form that passes through the point with position vector \(2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}\) and is in the direction \(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}\).

17. यह दिया गया है कि दो पाँसों को फेंकने पर प्राप्त दो संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Given that the two numbers appearing on throwing two dice are different. Find the probability of the event that the sum of numbers on the dice is 4.

अथवा/OR

एक पाँसे को एक बार उछाला जाता है। घटना "पाँसे पर प्राप्त संख्या 3 का गुणज है" को E और "पाँसे पर प्राप्त संख्या सम है" को F निरूपित किया जाए तो बताएँ क्या घटनाएँ E और F स्वतंत्र हैं?

A die is thrown once. If E be the event 'the number appearing is a multiple of 3' and F be the event 'the number appearing is even', then find whether E and F are independent.

खण्ड - द

SECTION - D

निबंधात्मक प्रश्न / Essay Type Questions

8. \(\int \frac{3x \, dx}{2x - 1}\) का मान ज्ञात कीजिए।

   Find the value of \(\int \frac{3x \, dx}{2x - 1}\).

   हल / Solution:

   \(\int \frac{3x}{2x-1} dx\)

   भाग विधि से: \(\frac{3x}{2x-1} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2(2x-1)}\)

   अतः \(\int \frac{3x}{2x-1} dx = \int \left( \frac{3}{2} + \frac{3}{2(2x-1)} \right) dx\)

   \(= \frac{3}{2}x + \frac{3}{4} \ln|2x-1| + C\)

   उत्तर: \(\frac{3}{2}x + \frac{3}{4} \ln|2x-1| + C\)

   अथवा / OR

   \(\int \sqrt{3 - 2x - x^2} \, dx\) ज्ञात कीजिए।

   Find \(\int \sqrt{3 - 2x - x^2} \, dx\).

   हल / Solution:

   \(\int \sqrt{3 - 2x - x^2} dx = \int \sqrt{4 - (x+1)^2} dx\)

   मानक सूत्र \(\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + C\) का प्रयोग करते हुए:

   यहाँ \(a = 2\), \(x = x+1\)

   \(\int \sqrt{4 - (x+1)^2} dx = \frac{x+1}{2}\sqrt{4 - (x+1)^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\frac{x+1}{2} + C\)

   \(= \frac{x+1}{2}\sqrt{3 - 2x - x^2} + 2\sin^{-1}\frac{x+1}{2} + C\)

   उत्तर: \(\frac{x+1}{2}\sqrt{3 - 2x - x^2} + 2\sin^{-1}\frac{x+1}{2} + C\)

9. रेखाओं \(\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}\) और \(\frac{x-5}{4} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{8}\) के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।

   Find the angle between the pair of lines \(\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}\) and \(\frac{x-5}{4} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{8}\).

   हल / Solution:

   पहली रेखा के दिक्-अनुपात: \(a_1 = 2, b_1 = 2, c_1 = 1\)

   दूसरी रेखा के दिक्-अनुपात: \(a_2 = 4, b_2 = 1, c_2 = 8\)

   दो रेखाओं के बीच कोण \(\theta\) का सूत्र:

   \(\cos \theta = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)

   \(\cos \theta = \frac{2 \times 4 + 2 \times 1 + 1 \times 8}{\sqrt{4+4+1} \sqrt{16+1+64}} = \frac{8+2+8}{\sqrt{9} \sqrt{81}} = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}\)

   \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\)

   उत्तर: \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\)

   अथवा / OR

   \(p\) का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएँ \(\frac{1-x}{3} = \frac{7y-14}{2p} = \frac{z-3}{2}\) और \(\frac{7-7x}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{6-z}{5}\) परस्पर लम्ब हों।

   Find the values of \(p\) so that the lines \(\frac{1-x}{3} = \frac{7y-14}{2p} = \frac{z-3}{2}\) and \(\frac{7-7x}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{6-z}{5}\) are at right angles.

   हल / Solution:

   पहली रेखा को मानक रूप में लिखें:

   \(\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{\frac{2p}{7}} = \frac{z-3}{2}\)

   दिक्-अनुपात: \(a_1 = -3, b_1 = \frac{2p}{7}, c_1 = 2\)

   दूसरी रेखा को मानक रूप में लिखें:

   \(\frac{x-1}{-\frac{3p}{7}} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}\)

   दिक्-अनुपात: \(a_2 = -\frac{3p}{7}, b_2 = 1, c_2 = -5\)

   लम्ब होने की शर्त: \(a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0\)

   \((-3) \times \left(-\frac{3p}{7}\right) + \left(\frac{2p}{7}\right) \times 1 + 2 \times (-5) = 0\)

   \(\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0\)

   \(\frac{11p}{7} = 10\)

   \(p = \frac{70}{11}\)

   उत्तर: \(p = \frac{70}{11}\)